最大公約数とは、公約数のうち、もっとも大きな数のこと
最大公約数とは、公約数のうち、もっとも大きな数のことです。
どういうことでしょうか。
じっくり解説します。
（問）８と１２の公約数を求めてください。
まずは、８の約数を求めます。
・8÷1＝8
・8÷2＝4
・8÷3 → 割り切れない
・8÷4＝2
・8÷5 → 割り切れない
・8÷6 → 割り切れない
・8÷7 → 割り切れない
・8÷8＝1
よって、８の約数は１、２、４、８です。
つぎは、１２の約数を求めます。
・12÷1＝12
・12÷2＝6
・12÷3＝4
・12÷4＝3
・12÷5 → 割り切れない
・12÷6＝2
・12÷7 → 割り切れない
・12÷8 → 割り切れない
・12÷9 → 割り切れない
・12÷10 → 割り切れない
・12÷11 → 割り切れない
・12÷12＝1
よって、１２の約数は１、２、３、４、６、１２です。
ここで、８の約数と１２の約数を並べます。
・8の約数：1、2、4、8
・12の約数：1、2、3、4、6、12
１、２、４が共通しますよね。
つまり、１、２、４が、８と１２の公約数です。
ここからが本題です。
１、２、４のうち、もっとも大きな数はどれですか。
４ですよね。
この４のように公約数のなかで、もっとも大きな数のことを最大公約数といいます。
つまり、８と１２の最大公約数は「４」です。
最大公約数は何かわかったのではないでしょうか。
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最大公約数は「小さいほうの数」に注目すればいい
（問）１２と１８の最大公約数を求めてください。
１２と１８の約数を並べて、最大公約数を探しても構いませんが、時間がかかってしまいます。
そこで、つぎのようにするといいでしょう。
１．小さいほうの数に注目します。
１２と１８の最大公約数を求めますが、１２と１８では１２のほうが小さい数です。よって、１２に注目します。
２．小さいほうの数の約数を書いていきます。
１２の約数を書きます。
12の約数：1、2、3、4、6、12
３．（大きいほうの数）÷（上記２の数）を計算して、割り切れるかどうかを見ます。
１２と１８では１８のほうが大きい数ですね。
これを上記２の数で割っていきます。
式で表すと、つぎのようになります。
18÷1
18÷2
18÷3
18÷4
18÷6
18÷12
これらのうち、割り切れるものは「１、２、３、６」です。
４．上記３で求めた数のうち、もっとも大きな数が最大公約数です。
「１、２、３、６」のうち、もっとも大きな数は「６」ですね。
よって、最大公約数は６です（これが答えです）。
さて、ここで「いったい、何の計算をしていたの？」と思ったひともいることでしょう。
鋭いひとは気がついたと思いますが、実は上記３で計算できた「１、２、３、６」は、１２と１８の公約数です。
なぜ、上記３で公約数が計算できたのか、その理由をじっくり解説します。
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なぜ公約数を計算できたのか？
まず思い出してほしいことがあります。
それは「約数かどうか判断する方法」です。
一例をあげると３が１８の約数かどうかを判断するには、どうすればいいのですか。
割ればいいのですよね。
つまり「１８÷３」を計算すればいいのでした。
この場合、割り切れるので、３は１８の約数とわかります。
さて、この視点で、上記３の計算式を見てください。
つぎのように考えられますよね。
18÷1 → 1が18の約数かどうか
18÷2 → 2が18の約数かどうか
18÷3 → 3が18の約数かどうか
18÷4 → 4が18の約数かどうか
18÷6 → 6が18の約数かどうか
18÷12 → 12が18の約数かどうか
すなわち、以下になります。
18÷1 → 1が18の約数かどうか → 割り切れるので、1は18の約数
18÷2 → 2が18の約数かどうか → 割り切れるので、2は18の約数
18÷3 → 3が18の約数かどうか → 割り切れるので、3は18の約数
18÷4 → 4が18の約数かどうか → 割り切れないので約数ではない
18÷6 → 6が18の約数かどうか → 割り切れるので、6は18の約数
18÷12 → 12が18の約数かどうか → 割り切れないので約数ではない
さて、上記２を見てください。
１、２、３、４、６、１２は、１２の約数なのですよね。
先ほどのことから、これらのうち、１、２、３、６は１８の約数だとわかりました。
すなわち、１、２、３、６は１２の約数でも１８の約数でもあります。
こういうのを公約数といったので、１２と１８の公約数は「１、２、４、６」となります。
すこしややこしいですが、よく考えるとわかりますよ！
難しいと感じれば、はじめのうちは手順を丸暗記しても構いません。
最大公約数を見つける方法を、少しだけスピードアップさせる方法
（問）１５と１２５の最大公約数を求めてください。
１．小さいほうの数に注目します。
１５と１２５では、１５のほうが小さいので１５に注目します。
２．小さいほうの数の約数を書いていきます。
15の約数：1、3、5、15
３．（大きいほうの数）÷（上記2の数）を計算します。
まずは、大きいほうの数ですが、１５と１２５では１２５のほうが大きいので１２５ですね。
これを上記２の数で割っていきますが、「大きい数」から順に割っていきます。すこしだけ計算がはやくなります。
具体的には、上記2のうち、もっとも大きいのは１５なので、まずは、つぎの計算をします。
125÷15
割り切れませんね。
そこで、上記2の数のうち、１５のつぎに小さな数である５に着目します。
125÷5
割り切れます。
よって、最大公約数は５です。
