約数の基本

約数を見つけるには整数で割っていく

大ざっぱにいうと、●の約数とは、●を割り切る整数のことです。
どういうことでしょうか。
じっくり解説していきます。

まずは、８を整数で割っていきましょう。
具体的には、８を「÷１」「÷２」「÷３」「÷４」…「÷８」「÷９」「÷１０」と整数で割っていきます。
すると、つぎのようになりますよね。

・8÷1
・8÷2
・8÷3
・8÷4
・8÷5
・8÷6
・8÷7
・8÷8
・8÷9
・8÷10

これらを実際に計算すると、つぎのようになります。

・8÷1＝8
・8÷2＝4
・8÷3　→　割り切れない
・8÷4＝2
・8÷5　→　割り切れない
・8÷6　→　割り切れない
・8÷7　→　割り切れない
・8÷8＝1
・8÷9　→　割り切れない
・8÷10　→　割り切れない

「÷１」「÷２」「÷４」「÷８」のときだけ、割り切れます。
８を整数で割ったもののうち、割り切れる数はすべて「８の約数」といいます。というわけで、８の約数は１、２、４、８です。

約数とは何なのか、なんとなくわかっていただけたのではないでしょうか。
では、例題を解いてみましょう。

（問）６の約数を求めてください。

まずは、６を「÷１」「÷２」「÷３」「÷４」…「÷６」「÷７」「÷８」と整数で割っていきます。
つぎのようになりますね。

・6÷1＝6
・6÷2＝3
・6÷3＝2
・6÷4　→　割り切れない
・6÷5　→　割り切れない
・6÷6＝1
・6÷7　→　割り切れない
・6÷8　→　割り切れない

「÷１」「÷２」「÷３」「÷６」のときだけ、割り切れます。
６を整数で割ったもののうち、割り切れる数はすべて「６の約数」というので、６の約数は１、２、３、６です。

このように、●の約数を見つけるには、●を「÷１」「÷２」「÷３」「÷４」…と順に割っていきます。
ただ、これだと効率が悪いので、すこし工夫をしましょう。
どのように工夫すればいいのでしょうか。

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●の約数を求めるには、●よりも大きな数で割る必要はない！

結論から書くと、●の約数を求めるには、「割り切れる」必要があるので、●よりも大きな数で割る必要はありません。
どういうことでしょうか。
じっくり解説します。

（問）４の約数を求めてください。

４を１から順に割っていっていくと、つぎのようになりますよね。

・4÷1＝4
・4÷2＝2
・4÷3　→　割り切れない
・4÷4＝1
・4÷5　→　割り切れない
・4÷6　→　割り切れない
・4÷7　→　割り切れない
・4÷8　→　割り切れない
・4÷9　→　割り切れない
・4÷10　→　割り切れない
・4÷11　→　割り切れない

ここで注目していただきたいのは、「÷５」以降です。
４より大きい整数だと、かならず「割り切れない」となっていますよね。
つまり、４の約数を探すとき、４より大きな数で割っても意味がありません。

これで「●の約数を求めるには、●よりも大きな数で割る必要はありません」の意味がわかったのではないでしょうか。

これ以外にも、約数を探すスピードをすこしだけはやくするコツがあります。

ちなみに、問の答えは「１、２、４」です。

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「法則」を見つけよう！　すると、約数を見つけるスピードがすこしアップ！

（問）１６の約数を求めてください。

約数を求めるには、１６を１から１６の整数で割っていけばいいのですね（割り切れたものが１６の約数です）。

・16÷1＝16
・16÷2＝8
・16÷3　→　割り切れない
・16÷4＝4
・16÷5　→　割り切れない
・16÷6　→　割り切れない
・16÷7　→　割り切れない
・16÷8＝2
・16÷9　→　割り切れない
・16÷10　→　割り切れない
・16÷11　→　割り切れない
・16÷12　→　割り切れない
・16÷13　→　割り切れない
・16÷14　→　割り切れない
・16÷15　→　割り切れない
・16÷16＝1

よって、答えは「１、２、４、８、１６」です。

さて、ここで「割り切れたもの」だけを抜き出してみます。

・16÷1＝16
・16÷2＝8
・16÷4＝4
・16÷8＝2
・16÷16＝1

順番をかえてみます。

・16÷1＝16
・16÷16＝1

・16÷2＝8
・16÷8＝2

・16÷4＝4

ここで「法則」があることに気がつくのではないでしょうか。

・16÷1＝16
・16÷16＝1
→1で割れたら、16でも割れる

・16÷2＝8
・16÷8＝2
→2で割れたら、8でも割れる

・16÷4＝4
→（あえて法則を書くなら）4で割れたら、4でも割れる

よって、１６を１から順に割っていかなくても、つぎのように考えることができます。

・16÷1＝16
→1と16で割れるので、約数は1、16

・16÷2＝8
→2と8で割れるので、約数は2、8

・16÷3　→　割り切れない

・16÷4＝4
→4と4で割れるので、約数は4

・16÷5　→　割り切れない
・16÷6　→　割り切れない
・16÷7　→　割り切れない

・16÷8＝2
→先ほどと同じ。約数が出そろったので、これから先を計算する必要はない！

労力が半分で済むわけですね。

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