最大公約数とは、公約数のうち、もっとも大きな数のこと

最大公約数とは、公約数のうち、もっとも大きな数のことです。
どういうことでしょうか。
じっくり解説します。

(問)8と12の公約数を求めてください。

まずは、8の約数を求めます。

・8÷1=8
・8÷2=4
・8÷3 → 割り切れない
・8÷4=2
・8÷5 → 割り切れない
・8÷6 → 割り切れない
・8÷7 → 割り切れない
・8÷8=1

よって、8の約数は1、2、4、8です。

つぎは、12の約数を求めます。

・12÷1=12
・12÷2=6
・12÷3=4
・12÷4=3
・12÷5 → 割り切れない
・12÷6=2
・12÷7 → 割り切れない
・12÷8 → 割り切れない
・12÷9 → 割り切れない
・12÷10 → 割り切れない
・12÷11 → 割り切れない
・12÷12=1

よって、12の約数は1、2、3、4、6、12です。

ここで、8の約数と12の約数を並べます。

・8の約数:1、2、4、8
・12の約数:1、2、3、4、6、12

1、2、4が共通しますよね。
つまり、1、2、4が、8と12の公約数です。

ここからが本題です。
1、2、4のうち、もっとも大きな数はどれですか。
4ですよね。
この4のように公約数のなかで、もっとも大きな数のことを最大公約数といいます。
つまり、8と12の最大公約数は「4」です。
最大公約数は何かわかったのではないでしょうか。

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最大公約数は「小さいほうの数」に注目すればいい

(問)12と18の最大公約数を求めてください。

12と18の約数を並べて、最大公約数を探しても構いませんが、時間がかかってしまいます。
そこで、つぎのようにするといいでしょう。

1.小さいほうの数に注目します。

12と18の最大公約数を求めますが、12と18では12のほうが小さい数です。よって、12に注目します。

2.小さいほうの数の約数を書いていきます。

12の約数を書きます。

12の約数:1、2、3、4、6、12

3.(大きいほうの数)÷(上記2の数)を計算して、割り切れるかどうかを見ます。

12と18では18のほうが大きい数ですね。
これを上記2の数で割っていきます。
式で表すと、つぎのようになります。

18÷1
18÷2
18÷3
18÷4
18÷6
18÷12

これらのうち、割り切れるものは「1、2、3、6」です。

4.上記3で求めた数のうち、もっとも大きな数が最大公約数です。

「1、2、3、6」のうち、もっとも大きな数は「6」ですね。
よって、最大公約数は6です(これが答えです)。

さて、ここで「いったい、何の計算をしていたの?」と思ったひともいることでしょう。
鋭いひとは気がついたと思いますが、実は上記3で計算できた「1、2、3、6」は、12と18の公約数です。
なぜ、上記3で公約数が計算できたのか、その理由をじっくり解説します。

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なぜ公約数を計算できたのか?

まず思い出してほしいことがあります。
それは「約数かどうか判断する方法」です。
一例をあげると3が18の約数かどうかを判断するには、どうすればいいのですか。

割ればいいのですよね。
つまり「18÷3」を計算すればいいのでした。
この場合、割り切れるので、3は18の約数とわかります。

さて、この視点で、上記3の計算式を見てください。
つぎのように考えられますよね。

18÷1 → 1が18の約数かどうか
18÷2 → 2が18の約数かどうか
18÷3 → 3が18の約数かどうか
18÷4 → 4が18の約数かどうか
18÷6 → 6が18の約数かどうか
18÷12 → 12が18の約数かどうか

すなわち、以下になります。

18÷1 → 1が18の約数かどうか → 割り切れるので、1は18の約数
18÷2 → 2が18の約数かどうか → 割り切れるので、2は18の約数
18÷3 → 3が18の約数かどうか → 割り切れるので、3は18の約数
18÷4 → 4が18の約数かどうか → 割り切れないので約数ではない
18÷6 → 6が18の約数かどうか → 割り切れるので、6は18の約数
18÷12 → 12が18の約数かどうか → 割り切れないので約数ではない

さて、上記2を見てください。
1、2、3、4、6、12は、12の約数なのですよね。

先ほどのことから、これらのうち、1、2、3、6は18の約数だとわかりました。

すなわち、1、2、3、6は12の約数でも18の約数でもあります。
こういうのを公約数といったので、12と18の公約数は「1、2、4、6」となります。
すこしややこしいですが、よく考えるとわかりますよ!
難しいと感じれば、はじめのうちは手順を丸暗記しても構いません。

最大公約数を見つける方法を、少しだけスピードアップさせる方法

(問)15と125の最大公約数を求めてください。

1.小さいほうの数に注目します。

15と125では、15のほうが小さいので15に注目します。

2.小さいほうの数の約数を書いていきます。

15の約数:1、3、5、15

3.(大きいほうの数)÷(上記2の数)を計算します。

まずは、大きいほうの数ですが、15と125では125のほうが大きいので125ですね。

これを上記2の数で割っていきますが、「大きい数」から順に割っていきます。すこしだけ計算がはやくなります。

具体的には、上記2のうち、もっとも大きいのは15なので、まずは、つぎの計算をします。

125÷15

割り切れませんね。
そこで、上記2の数のうち、15のつぎに小さな数である5に着目します。

125÷5

割り切れます。
よって、最大公約数は5です。

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